АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

Problem (October 2007, A.Fomin)

Let be a completely decomposable group. Every sequence of torsion elements , which is admissible with respect to the sequence of the characteristics , gives an almost completely decomposable group such that (see [1], Theorem 15).
Find conditions for the sequences and T such that the group B would be a regulating subgroup (the regulator) of the group .
[1] A.A.Fomin, Quotient divisible and almost completely decomposable groups, in the book: Contributions to Module Theory, de Gruyter, 2007, to appear.

Проблемы ( А. Р. Чехлов)

1. Кольцо называется инвариантным слева (справа), если для любых a,bR существует такой элемент cR , что ab=ca ( ab=bc ).
   а) Изучить группы без кручения , кольца эндоморфизмов которых инвариантны слева (справа).
   б) Описать группы, левая (правая) инвариантность кольца эндоморфизмов которых эквивалентна его коммутативности.
2. Описать абелевы группы, в которых замыкание (в Z-адической топологии) каждой сервантной подгруппы является пересечением прямых слагаемых группы.
3. Описать абелевы группы без кручения A , в которых для любых двух идемпотентных эндоморфизмов подгруппа – прямое слагаемое в . Отметим, что задача описания групп A , в которых – прямое слагаемое в A для всех идемпотентных эндоморфизмов группы A эквивалентна 9 проблеме Л. Фукса (Л. Фукс. Бесконечные абелевы группы, т.1).
4. Изучить модули M , все регулярные по фон Нейману эндоморфизмы которых образуют подполугруппу в полугруппе эндоморфизмов модуля M . Аналогичный вопрос для произвольного ассоциативного кольца.
5. Описать:
   а) группы без кручения,
   б) p-группы, в которых все инвариантные относительно проекций подгруппы являются вполне характеристическими.
   Отметим, что, например, сепарабельные p-группы обладают указанным свойством.
6. Изучить решетку подгрупп, инвариантных относительно проекций. В частности, когда эта решетка дистрибутивна, является цепью?
7. Найти критерии, при которых прямое разложение подгруппы, инвариантной относительно проекций, индуцируется прямым разложением группы.
8. Определения.
   Группы, в которых замыкание (в Z-адической топологии и в в p-адической топологии для каждого простого числа ) всякой сервантной подгруппы выделяется прямым слагаемым, называются cs-группами.
   Группа A называется qcpi-группой, если всякий гомоморфизм любой ее замкнутой в Z-адической топологии сервантной подгруппы G продолжается до эндоморфизма группы A.
   Через обозначен класс всех абелевых групп без кручения без ненулевых p-делимых подгрупп.
   Под p-рангом группы понимается ранг ее факторгруппы A/pA . Для группы A обозначим через – множество всех простых чисел p со свойством . Группа без кручения A называется квазиоднородной, если для любой ее ненулевой сервантной подгруппы .
   Вопросы. Существуют ли не алгебраически компактные:
   а) cs-группы из счетного p-ранга, неизоморфные , где через обозначена группа целых p-адических чисел;
   б) cs-группы такие, что ;
   в) qcpi-группы из , имеющие алгебраически компактные прямые слагаемые бесконечного p-ранга?
9. Для каких кардинальных чисел существуют qcpi-группы из p-ранга , не являющиеся cs-группами?
10. Какими кардинальными числами могут быть мощности неразложимых квазиоднородных qcpi-групп?
11. Если , то через обозначим элемент группы A (если он существует), являющийся пределом в p-адической топологии группы A последовательности , где – n -я частичная сумма числа , записанного в виде формального степенного ряда. Пусть . Группу назовем p-вполне транзитивной, если для любых условие влечет существование эндоморфизма f группы со свойством f(a)=b . Всякая вполне транзитивная группа является p-вполне транзитивной. Описать классы групп , в которых p-вполне транзитивность эквивалентна вполне транзитивности.
12. Всякую ли квазиоднородную (соответственно, однородную) группу A можно вложить в равномощную вполне транзитивную, транзитивную, слабо транзитивную квазиоднородную (соответственно, однородную) группу B в качестве сервантной подгруппы? А если , то какова наименьшая мощность ?
13. Всякую ли квазиоднородную группу можно вложить в равномощную p-вполне транзитивную квазиоднородную группу в качестве замкнутой в p-адической топологии сервантной подгруппы? А если , то какова наименьшая мощность ?
14. Найти критерии, при которых подгруппа, инвариантная относительно проекций, является
    а) изоморфной группе;
    б) эндоморфным образом группы.