ENCYCLOPAEDIA

Почти вполне разложимые группы

А.А.Фомин

    Абелева группа без кручения называется почти вполне разложимой, если она содержит вполне разложимую подгруппу конечного ранга и конечного индекса. Вполне разложимые подгруппы минимального индекса называются регулирующими. Пересечение всех регулирующих подгрупп почти вполне разложимой группы называется регулятором данной группы. Регулятор также является вполне разложимой подгруппой конечного индекса.
     Интерес к почти вполне разложимым группам возник в связи с открытием Б. Йонссоном аномальных прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга, поскольку все такие примеры строятся на почти вполне разложимых группах. В примере Йонссона группа без кручения ранга 4 имеет два неизоморфных прямых разложения в прямую сумму неразложимых подгрупп рангов соответственно 2 и 2, а также 3 и 1. Йонссон анонсировал свой пример в 1945 году [1] и опубликовал доказательство в 1957 году [2].
     Следующее замечательное обобщение примера Йонссона принадлежит А. Корнеру [3]. Для каждой пары натуральных чисел существует почти вполне разложимая группа со следующим свойством. Для любого представления числа в виде суммы k целых положительных чисел группа A содержит неразложимые подгруппы рангов соответственно так, что .
     В дальнейшем определенный вклад в развитие теории почти вполне разложимых групп внесли Д. Арнольд, К. Бенабдаллах, Е.А. Благовещенская, Р. Буркхардт, Ч. Винсонхалер, Р. Гебель, М. Дугас, Б. Йонссон, С.Ф. Кожухов, А. Корнер, Е. Ли Лэйди, Ф. Лунстра, А. Мадер, О. Мутцбауер, Дж. Рейд, Т. Фатикони, Л. Фукс, А.А. Фомин, Ф. Шультц, А.В. Яковлев. Список имен, конечно, не является полным. Для детального знакомства с почти вполне разложимыми группами мы рекомендуем обстоятельную монографию Адольфа Мадера [4] и докторскую диссертацию Екатерины Анатольевны Благовещенской [5].
     Любопытно, что каждая почти вполне разложимая группа имеет двойственную факторно делимую группу, которая является прямой суммой факторно делимых групп ранга 1, то есть «вполне разложима». В [6] рассмотрена факторно делимая группа, двойственная вышеупомянутой группе Корнера, а также теорема Корнера доказана с использованием данной двойственности.

Литература

1. B. Jonsson, On unique factorization problem for torsionfree abelian groups, Bull. AMS, 51 (1945), 364.
2. B. Jonsson, On direct decompositions of torsion-free abelian groups, Math. Scand., 5 (1957), 230-235.
3. A.L.S. Corner, A note on rank and direct decompositions of torsion-free abelian groups, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57 (1961), 230-233; 66 (1969), 239-240.
4. A. Mader, Almost completely decomposable groups, 2000.
5. Е.А. Благовещенская, Почти вполне разложимые группы и связи с их кольцами эндоморфизмов, Москва, 2007.
6. A.A. Fomin, Quotient divisible and almost completely decomposable groups, in the book: Contributions to Module Theory, de Gruyter, 2007, to appear.